Задача по математика - геометрична прогресия.

[brabus]

За геометрична прогресия да се намери q, за което е изпълнено:

а1 + а2 + а3 + а4 + а5 = 144
а2 - а7 = 27

Прогресията явно е намаляваща, защото няма как от второто число в нея да извадя седмото и да получа положително число (27) ако е нарастваща. Значи q е по-малко от 1. а1 не може да е по-малко от 0, защото пък няма да е изпълнено първото равенство.
Ама тези разсъждения са на човек, който се е отделил от този тип математика с години. Знам формулата, но стигам до система с q^6 и нещо забивам.

Търся q и помощ от вас.

[azrod]

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0% ... 0%B8%D1%8F

Според формулата S(5) = a1.( q^5 -1) / q - 1 , което пък е равно на първото ти дадено равенство а1 + а2 + а3 + а4 + а5 = 144

а2 - а7 пък е равно на а1.q - a1.q^6= a1.q.(1-q^5) което пък от второто ти дадено равенство е равно на а2 - а7 = 27

Така получените две равенства можеш да си изведеш на колко ти е равно а1 и от двете и накрая да ги сложиш равни едно на друго:
от първото a1.( q^5 -1) / q - 1 =144 следва че а1= 144(q-1) / (q^5-1)
от второто а1.q.(1-q^5) = 27 следва, че a1= 27 / q.(1-q^5)

приравняваме ги двете и се получава:

144(q-1) / (q^5-1) = 27 / q.(1-q^5)

Знаменателите са почти еднакви, само трябва да извадим един минус пред скоба на първия и ще са абсолютно равни (т.е. ще можем да разделим и двете страни на (1-q^5) и така да се отървем от високата степен на q). Този минус реално дето го вадим пред скоба от знаменателя ще го качим в числителя и там ще стане 144.(1-q). Тогава се получава следното равенство:

144.(1-q) / (1-q^5) = 27/ q.(1-q^5) умножаваме и двете страни по (1-q^5)

144.(1-q) = 27 / q умножаваме и по q

144.q.(1-q)=27 делим на 9

16.q.(1-q)= 3

16.q - 16.q^2 - 3 = 0

оттук нататък мисля, че ще се справите и сами. Ако има дерт свиркай да помагам с квадратното уравнение.

П.П.: Намерих и още малко време преди да изляза по задачки да помогна поне докрай

квадратното уравнение 16.q - 16.q^2 - 3 = 0 го умножаваме по -1

16.q^2 - 16.q + 3 = 0 тук виждаме, че има нещо подобно на (а-б)^2 като а^2 = 16.q^2 => a=4q

от формулата (а-b)^2 = a^2 - 2.a.b + b^2 пък намираме, че b=2, защото -2.а.b = -16.q

така 16.q^2 - 16.q + 3 = 0 пък е равно на 16.q^2 - 16.q + 4 - 1 = 0, 16.q^2 - 16.q + 4 = (4q-2)^2

тогава уравнението ще стане (4q-2)^2 - 1 = 0 тук най-елегантно ми се струва да ползваме a^2 - b^2 = (а-b)(a+b) и да изведем двата отговора за q .
(4q-2)^2 - 1 = (4q-2)^2 - 1^2 = ((4q-2) - 1)((4q-2) + 1) = (4q-3)(4q-1)=0
Оттук вероятните q са единия път 3/4, а другия 1/4
Game Over

[brabus]

Благодаря много

[Matematiks]

Аз какво съм учил се чудя

Това ми е толкова далече....че ненам.Направо ми е на китайски.

Браво на колегата

[azrod]

Моля, да си призная и на мен ми беше малко мътно докато си спомня формулата, хубаво, че има Wiki...

btw Ако сметнеш а1 е такова криво число, че чак ще се откажеш от живота ... 27*4096/1023 само че след всички проверки е вярна прогресията ...

[brabus]

Да се включа още един път.
Снощи явно съм бил много хахо, за да не видя общия знаменател с q^5
За другите колеги, интересуващи се от математика мога да препоръчам 16.q^2 - 16.q + 3 = 0 да си се реши като обикновено квадратно уравнение, чрез намиране на дискриминанта и т.н.

azrod, още веднъж големи благодарности за отделеното време

[FreeSoul]

Това "нещо", човек не занимавал се с математика възможно ли е да го реши? За мен това си е чиста ядрена физика

[azrod]

brabus , може, просто много отдавна съм бил 7-ми клас и вече ми е далече материята. А имах много набито око тогава за такива полиноми така че явно каквото си го можел не се губи лесно.

П.П.: FreeSoul, възможно е стига поне малко от малко да си внимавал, аз съм кандидатствал два пъти с математика - след 7-ми и след 12-ти клас.